مجموعه های تفکیک کننده راس ها در گراف ها با کوچکترین اندازه

فرض کنیم $G$ یک گراف ساده همبند با مجموعه راس های $V(G)$ و مجموعه یال های $E(G)\ $ باشد. زیرمجموعه $ S=\{s_1, s_2,\ldots,s_l \}$ از راس های گراف $G$ یک مجموعه تفکیک کننده دوگانه برای گراف $G$ نامیده می شود، هرگاه برای هر دو راس متمایز $u$ و $v$ از گراف $G$، عضوهای $x$ و $y$ از $S$ موجود باشند که $.d\left(u,\ x\right)-d\left(u,\ y\right)\neq \ d\left(v,\ x\right)\mathrm{-}d\left(v,\ y\right)$ اندازه کوچک ترین مجموعه تفکیک کننده دوگانه در گراف $G$ را با ${\psi} (G)$ نشان می دهند. در این مقاله، ضمن آشنایی با مفهوم و خواص ${\psi} (G)$, برخی مجموعه های تفکیک کننده راس ها با کوچکترین اندازه را برای گراف یالی $L(C_n\circ{\overline{K}}_m)$ و گراف $(C_n\circ{\overline{K}}_m)\square P_k$ محاسبه می کنیم، که در آن نمادهای $\circ$ و $\square$ به ترتیب حاصل ضرب کرونا و حاصل ضرب دکارتی بین دو گراف را مشخص می کنند. به ویژه، در پاسخ به مساله مشخص نمودن گراف های $G$ و $H$، که برای آن ها تساوی ${\psi}(G\square H)={\psi}(G)+{\psi}(H)-1$ برقرار است \cite{15}، ما نشان می دهیم که اگر $ n\ge 3$ و $m,k\ge 2$ عددهای صحیح باشند، آن گاه ${\psi} \left((C_n\circ{\overline{K}}_m)\square P_k\right)$ برابر است با $.{\psi} \left(C_n\circ{\overline{K}}_m)+{\psi} (P_k\right)-1$