نتیجه ای درباره قطر جبرهای باناخ عملگری انقباض پذیر

به یک جبر باناخ A انقباض پذیر گفته می شود هرگاه  به ازای  هر A-دومدول باناخ E، هر اشتقاق  پیوسته از A به E درونی باشد.  مفهوم انقباض پذیری در مبحث کوهمولوژی و میانگین پذیری جبرهای باناخ ظاهر می گردد. تنها جبرهای  باناخ  انقباض پذیری که تا کنون شناخته شده اند، از بعد متناهی هستند. درواقع،  یکی از قدیمی ترین حدس ها در این مبحث، عدم وجود جبرهای باناخ  انقباض پذیر با بعد نامتناهی است. حالت خاص این حدس، که آن نیز  هنوز  بی پاسخ  است، می گوید که برای یک فضای باناخ X اگر B(X)، جبر باناخ همه عملگرهای خطی و پیوسته  روی X،  انقباض پذیر باشد آنگاه X از بعد متناهی است.  براساس نتیجه ای شناخته شده،  یک جبر باناخ A  انقباض پذیر است اگر و  فقط اگر  عنصر ویژه ای به نام  قطر در A⊗π A، حاصلضرب تانسوری تصویری A با خودش، موجود باشد.  در این یادداشت کوتاه، نشان می دهیم که اگر X از  بعد نامتناهی باشد و B(X)  انقباض پذیر  باشد، آنگاه تصویر هر قطر B(X)،  تحت نگاشت کانونی، در B(X⊗π X) برابر با عملگر صفر است. برای اثبات از برآورد معروف کدک-اسنوبار درباره نرم عملگرهای تصویرگر روی زیرفضاهای با بعد متناهی، استفاده می کنیم. امیدواریم که دانستن چنین ویژگی قطر  و روشی که در این یادداشت ارایه می کنیم، در آینده منجر به حل شدن حدس متناهی بعد بودن X شود.