زیرجبر تفکیک پذیر تابعی C(X)

نقش مفید زیر جبر شمارا تابعی $C_c(X)$ در مطالعه ی $C(X)$، انگیزه بخش معرفی و مطالعه ی زیرحلقه ی $C_{cd}(Y)$ از $C(X)$ است که آن را زیرجبر تفکیک پذیر تابعی حلقه ی توابع پیوسته ی حقیقی می نامیم. گیریم $Y$ یک زیرمجموعه ی چگال $X$ باشد، در این صورت $C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}$. آشکارا $C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X)$، می بینیم که $C_{cd}(Y)$ در بسیاری خواص همانند $C(X)$ و $C_c(X)$ رفتار می کند. ارتباط خواص جبری $C_{cd}(Y)$ و خواص توپولوژیکی $X$ را بررسی نموده، به ویژه فضاهای توپولوژیکی $X$ را جست وجو می کنیم که برای آن ها $C_c(Y)=C_{cd}(X)$ یا $C_{cd}(Y)=C(X)$ که در حالت اخیر $X$ را فضای تفکیک پذیر تابعی می نامیم. هرگاه $X$ یک فضای شماراتابعی یا تفکیک پذیر باشد، آن گاه $C_{cd}(Y)=C(X)$. اگر فضای $X$ شبه فشرده و $beta X$ تفکیک پذیر باشد، آن گاه هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شماراست. برعکس، اگر هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شمارا و هر $G_{delta}$ -مجموعه دارای درون ناتهی باشد، آن گاه $C(X)=C_c(X)$. زیرجبر تفکیک پذیر تابعی موضعی $C(X)$ را به صورت $C_{cod}(X)={fin C(X) : f(Y)|leq aleph_0 , text{برای یک زیرمجموعه ی چگال باز $Y$ از $X$}}$ تعریف می کنیم، در این صورت $C_{cod} X)subseteq L_c(X)$. ثابت می کنیم که برای یک فضای فشرده موضعی و شبه فشرده ی $X$، $C_{cod}(X)=C(X)$ اگر و تنها اگر $C_{cod}(beta X)=C(beta X)$. در ادامه $z_{cod}$-ایدال ها در $C_{cod}(X)$ را معرفی نموده و می بینیم که بیشتر قضایای راجع به $z$-ایدال ها را می توان برای $z_{cod}$-ایدال ها هم بیان نمود.