عملگر L_r و نگاشت گاوس رویه های درجه دوم

چندجمله ای های درجه دوم بر حسب متغییرهای x,y,z، یک رویه درجه دوم را مشخص می کند. در این مقاله با استفاده از عملگر L_1 (عملگر چنگ-یاو)که بر تابع های هموار روی رویه ها اثر می کند به مطالعه نگاشت گاوس رویه های درجه دوم در فضای اقلیدسی سه بعدی R^3 می پردازیم. فرض کنید f یک تابع هموار بر رویه M باشد، آنگاه L_1 f=tr(P_1 o ∇^2 f)که P_1 اولین تبدیل نیوتن وابسته به دومین فرم اساسی رویه و ∇^2 f عملگر خودالحاق و هم ارزی متری با هسیان f است، G=(G_1,G_2,G_3) و L_1 G=(L_1 G_1,L_1 G_2,L_1 G_3). در این مقاله نشان می دهیم تنها رویه های درجه دوم با نگاشت گاوس G صادق در شرط L_1 G=AG که در آن A یک ماتریس 3×3 است، کره‎ ها و رویه های درجه دوم تخت هستند. بعلاوه کره ها تنها رویه های درجه دوم فشرده با نگاشت گاوس G صادق در شرط L_1 G=AG برای یک ماتریس 3×3 مانند A هستند.